То есть как — Совершенства?

Тише! Тише! — сказал Радикс. — Впрочем, они уже удаляются. Эти удивительные существа суть совершенные числа великого Евклида...

Это тот ученый грек, который написал «Начала», про геометрию?

Он самый, а случилось это за три века до нашей эры. Поистине это был великий человек, — ответил очень серьезно

Радикс. — «Совершенство же этих чисел заключается в том, что каждое из них равняется сумме своих делителей, разумеет­ся исключая его самого. Например, число «шесть». Его дели­тели — 1, 2 и 3. Сложи и опять получишь шесть. Или число «двадцать восемь». Его делители — 1, 2, 4, 7 и 14. Сложи их, и снова получается двадцать восемь. Следующее число бу­дет 496, и оно опять-таки равно сумме своих делителей — 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248. Совершенно так же и с числом 8218, что ты и сам можешь легко проверить.

И много этих чисел? — спросил Илюша.

Если по натуральному ряду чисел добраться до десяти в двадцать четвертой степени...

Это будет, значит единица с двадцатью четырьмя пуля­ми! А как называется такое громадное число?

Оно называется септиллион. Это будет девятый класс чисел: единицы, тысячи, миллионы, биллионы4 триллио­ны, квадриллионы, квинтиллионы, секстиллионы и, паконец, вот эти септиллионы. Так вот, если до них добраться (а как ты сам понимаешь, это не так просто), то на всем этом про­тяжении чисел окажется всего-навсего восемь совершенных чисел. Они были найдены триста лет тому назад математиком Мерсенном. Еще Евклид дал общую формулу этих чисел, ко­торая, разумеется, была выведепа из наблюдений над ними. И все же формула выводится на основании общих соображе­ний. Формула очень простая. Но обращаться с ней тоже не очень просто. Вот она какова:

При этом п может быть любым числом, однако выражение (2Л + 1 —1) должно быть обязательно простым числом, то есть не иметь никаких делителей, кроме единицы и самого себя.

Я знаю эти числа: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и так далее.1 Ясно, — ответил Радикс. — Но если ты сам попробуешь применить эту формулу, то скоро убедишься, до чего это труд­ная задача. Я назвал тебе четыре совершенных числа. Для них в Евклидовой формуле п = 2, 3, 5 и 7. Если хочешь ознако­миться и с другими, то имей в виду, что для них число п будет равняться 13, 17, 19 и 31. Восьмое число начинается с квин­тиллионов. Позже было найдено девятое совершенное число (для него п = 61), а затем — десятое, для которого п = 89. Для одиннадцатого п = 107. Для двенадцатого п = 127; в этом числе больше семидесяти пяти цифр. Ты заметил, что все ука­занные совершенные числа четные? Так вот, грече­ский математик Ямвлих говорит (и в правильности этого легко убедиться), что из всех четных чисел совершенными могут оказаться только те, которые подходят к формуле Евклида. Что формула Евклида дает в итоге четное число, это как будто ясно. Не-правда ли?