Конечно, можно. Перемена основания соответствует, как мы уже видели, просто перемене способа измерения площадей. Если ты в качестве единицы для измерения площадей выберешь основную гиперболическую трапецию, простирающуюся от х = 1 до х — 10, то как раз и получишь десятичные логарифмы. Так как единица измерения увеличилась, то площади будут выражаться меньшими числами, то есть десятичные логарифмы будут меньше натуральных, почему и модуль их меньше единицы.
А почему обычные логарифмы — десятичные, а не какие-пибудь другие?
Просто потому, что мы пользуемся десятеричной системой счисления. Древний халдей, вероятно, выбрал бы для основания не десять, а свое любимое число шестьдесят, если бы он додумался до логарифмов. А в десятеричной системе счисления сразу известны логарифмы чисел 10, 100, 1000, 10 000 и т. д. Они равны 1, 2, 3, 4... Поэтому, умножая какое-нибудь число на десять,
сто и так далее, сразу можно сказать, что десятичный логарифм этого числа увеличится на единицу, на два и прочее, а при делении будет наоборот. Это очень облегчает пользование таблицами.
Илюша помолчал минутку.
Вот что, — произнес он наконец, — мне кажется, что теперь я могу разобраться, почему при помощи логарифмов умножение заменяется сложением. Если взять гиперболическую площадку от х = 1 до х = п, то это будет логарифм числа п. Если к нему рядом приладить еще одну площадку величиной от х — 1 до х = т, то есть логарифм числа т, то, как мы уже делали рапыне, придется вторую площадку растянуть от п до пт, удлинив абсциссу в т раз. Значит, тут конечные абсциссы (то есть числа) перемножаются, в то время как площади складываются. Вот теперь мне, кажется, все ясно. Значит, одно из конических сечений имеет самое тесное отношение к прогрессиям. Как все это связано!
Вот эта связь различных разделов математики друг с другом и есть величайшая драгоценность нашей науки
Как интересно!—воскликнул Илюша. — А скажи, пожалуйста, когда были открыты логарифмы?
В начале семнадцатого века Джоном Непером, шотландцем.
А-а! — сказал Илюша. — Вот в чем дело-то' Вот при чем тут шотландский сыр!
Конечно! Про этого Непера говорили, что он увеличил вдвое продолжительность жизни астронома, потому что с логарифмами можно насчитать вдвое больше, чем без них. Разумеется, нетрудно догадаться, что все, что мы проделали с неделимыми, можно отлично перевести и на современный язык теории пределов, стоит только вместо суммы «неделимых полосок» рассматривать предел суммы бесконечно утончающихся вписанных или описанных прямоугольничков, как мы делали уже в Схолии Пятнадцатой.
