|
|
— Так! — промолвил Радикс. — Значит, мы выяснили таким образом, что сумма нашей прогрессии все приближается и приближается к единице, так что разность между суммой и единицей может быть сделана меньше любого сколь угодно малого числа. Другими словами, эта разпость как угодно близко подходит к нулю. Можно сказать, что когда число членов стремится к бесконечности, сумма стремится к пределу, равному единице. Но у нас, в царстве ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА, говорят, что сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии
равна единице.
Хмм... — промычал недоуменно Илюша. — Все это, конечно, так, но мне пока еще не верится... Вот чего я не пойму: что значит «сумма всех членов»? Ведь их у нас бесконечное множество. Как же их все сложить? Складывать-то я начну, а как и когда я эти все сложения кончу?
Замечание, не лишенное смысла! — усмехнулся Радикс.— Однако в этом случае нельзя понимать сложение так, как* это ты понимал, когда складывал конечное число слагаемых столбиком в первом классе школы. Здесь надо складывать все большее и большее число слагае-
мых и при этом проследить, найти и определить, к какому ты пределу приближаешься. Вот этот-то предел мы и называем результатом сложения бесконечно большого числа слагаем ы х, пли их с у м м о й. В этом смысле мы и говорим, что если просуммировать все члены убывающей геометрической прогрессии: то в результате и получится сумма, равная единице. Вот тебе еще пример. Возьмем отрезок, равный единице. Разделим его пополам. Затем правую половину раздели опять пополам, правую четверть дели снова пополам, потом правую восьмую еще раз пополам и так далее. Теперь давай складывать. Если возьмем два слагаемых — половину и четверть,— то до единицы нам не будет хватать четверти. Если возьмем три слагаемых, нам не хватит одной восьмой; если четыре — не хватит одной шестнадцатой и так далее. Ну вот, когда ты будешь
увеличивать число слагаемых до бесконечности, то в пределе ты и получишь едшшцу, то есть тот самый отрезок, равный единице, с которого ты начал. Зпай, что одним из первых, кто просуммировал бесконечную убывающую геометрическую прогрессию для решения сложной геометрической задачи, был не кто иной, как Архимед. Вот теперь ты и сам видишь, что мы недаром познакомились с Мишенькой: он помогает нам иной раз сосчитать сумму все уменьшающихся дробей. При этом обрати вииманпе: сумма получается вовсе не бесконечная, а самая обыкновенная! Как видишь, наше бесконечное чудовище, если оно возьмется за иную задачу, может нам помочь узнать самое обыкновенное конечное число,, с которым мы уже можем действовать как нам заблагорассудится.
|
|
