Пусть каждое из этих отношений равно х. Все ясно?

Да, — ответил Илюша. — Треугольники подобны, а как получаются пропорции, я понял. Везде взято отношение осно­вания к боковой стороне. Так как треугольники подобны, то отношение это во всех случаях одно и то же.

Если мы теперь посмотрим на прямую BF, которая равна (у + z), то заметим, что точка G делит этот отрезок так, что весь отрезок относится к большей своей части, как относится большая часть к меньшей. Это деление и называет­ся со времен глубокой древности золотым сечением

Ах, так вот почему вы ее называете Златоиссеченнои! — вскричал Илюша.

Именно поэтому! Но если у вас хватит терпения, то я могу вам еще рассказать насчет этой звезды немало интерес­ного. Ибо это еще ие все.

Рассказывайте, — попросил Илюша. — Ведь сколько раз я ее видел, и даже в голову не пришло, что наша Красная Звезда такая знаменитая в геометрическом мире.

Так вот, слушайте дальше. Если мы впишем в круг правильный выпуклый десятиугольник, то его сторона будет равна нашей величине х, помноженной на радиус большого круга, потому что еелн мы соединим концы одной нз сторон десятиугольника с центром круга, то получим равнобедренный треугольник, угол при вершине которого, очевидно, равен тридцати шести градусам, то есть десятой части всей окруж­ности. Боковые стороны равны радпусу оппсанного круга,

а основание — стороне десятиугольника. Следовательно, углы при основании будут иметь по семьдесят два градуса, и этот треугольник будет подобен только что рассмотренным. Л если это так, то, следовательно, отношение стороны десятиуголь­ника к радиусу снова равно тому же х. Ну, а теперь я посо­ветую вам, юноша, проделать еще кое-что своими собствен­ными силами для того, чтобы ознакомиться поближе с Злато- иссеченнои Звездой. Согласны ли вы на это?

Ну еще бы! — воскликнул Илюша. — Вполне согласен.

Тогда вот что. Опишите круг около маленького пятн- уголышчка FGH1K (чертеж на странице 407) и найдите, как относится его радиус OG = г к радиусу большого круга ОВ=В. Далее проведите прямые ВК и OG и из двух новых треуголь­ников ВК1 и В GO попробуйте получить вот такое равенство:

Что означает это равенство? Ясно, что В есть, во-первых, радиус описанного вокруг пятиугольника круга, а во-вторых, сторона вписанного шестиугольника. Поскольку мы ранее вы­яснили, что сторона правильного десятиугольника так отно­сится к радиусу, как z к у, то, следовательно, эта сторона есть Fix. Наконец, величина (у + z) есть не что иное, как сто­рона выпуклого пятиугольника. Следовательно, это наше ра­венство означает, что сумма квадратов длин сторон внпсанных шестиугольника и десятиугольника равна квадрату длины сто­роны вписанного пятиугольника. И, сопоставляя это с изве­стной вам теоремой Пифагора, мы можем утверждать, что стороны шестиугольника и десятиугольника могут быть сторо­нами прямоугольного треугольника, у которого гипотенузой будет сторона пятиугольника. Вы можете очень легко это про­верить, вспомнив, что стороны этих вписанных многоуголь­ников, будучи определены через радиус, равны: