Так п запишем. Попробуем только взять еще немножко подальше, а то для Мишкиной задачки это крохотное числиш- ко — нонпльоп децильонов — не подходит. Возьмем до бесконечности. Так вот, ответь мне, пожалуйста: если мы возьмем все числа, а потом выберем только одни четные и напишем в два ряда — в одном ряду будут все: и четные и нечетные, а в другом одни четпые, — так в котором ряду будет чисел больше, в верхнем или в нижнем?
Ну конечно, во втором ряду будет вдвое...
Но тут почему-то Илюша замолчал, и на его лице изобразилось полнейшее недоумение.
Ну-с, — сказал Радикс, — я вас слушаю! В котором ряду будет больше, в верхнем пли в нижнем?
Илюша грустно вздохнул и сказал:
Должно быть во втором ряду вдвое меньше, а на самом деле...
А на самом деле? — повторил вопросительно Радикс. — Да что тут долго думать! Вон они, посмотрн-ка!
Илюша обернулся, посмотрел на стену н увпдел:
Оба ряда тянулись вправо ужасно далеко, но как нн заглядывал Илюша вправо, как он ни напрягал зрение, оба они шли совершенно вровень, а конца им не было.
Так как же? — опять спросил Радикс.
Выходит, что их — и тех и других — одпо и то же количество.
Илюша пожал плечами.
Не понимаю! — сказал он. — Вижу, что одно и то же количество, п соображаю, что сколько нп тянн верхний ряд, нижний от него отставать не будет, потому что нижний — это тот же верхний, только умноженный на два, но понять не могу. Не могу, потому что нижний в то же самое время есть часть верхнего. Но ведь часть меньше своего целого?
Меньше, покуда речь идет о числах, о конечных величинах. А раз ты имеешь дело с бесконечностью, то, как ты сейчас сам видишь, это не так. Там вовсе не обязательно, чтобы часть была меньше своего целого. В данном случае часть совершенно такая же, как и ее целое. И это странное целое можно еще по-разному разбить на части, и опять получится то же самое. Великий Галилео Галилей в книге, которая называется «Беседа о двух новых науках» и которая вышла в свет в тысяча шестьсот тридцать восьмом году, задает примерно такой вопрос: «Верно ли будет, если я скажу, что количество правильных квадратов, как «четыре», «девять», «шестнадцать», «двадцать пять» и так далее, меньше количества всех чисел, поскольку число правильных квадратов непрерывно и очень скоро убывает по мере того, как мы двигаемся вперед по натуральному ряду чисел по направлению ко все большим и большим числам? Для примера укажу, что в первой сотне я насчитываю десять квадратов, что составляет одну десятую всех чисел до сотни включительно; затем до десяти тысяч их будет сто, то есть одна сотая, а до миллиона их будет одна тысячная и так далее». Поскольку это так, то несомненно правильно, что в любом конечном числе квадратов будет гораздо меньше, чем всех чисел, и чем оно будет больше, тем относительно их будет меньше. Однако, как только мы переходим к бесконечности, оказывается, что я могу все это рассмотреть совершенно с другой точки зрения. Напишем вот таких два ряда:
