|
|
Под каждым числом натурального ряда я подписываю во втором ряду его квадрат, и оба ряда будут тянуться вровень без конца. «Поэтому, — говорит далее Галилей, — нельзя сказать, которых чисел больше, которых меньше. Можно только сказать, что их бесконечное множество — и тех и других». Свойства конечных чисел, таким образом, на бесконечные множества распространять невозможно.
8 Волшебный двурог Все это так, — медленно произнес Илюша, — а понять все-таки очень трудно.
Ничего удивительного здесь нет,— отвечал Радикс,— что тебе вся эта задача кажется такой трудной. Современные ученые полагают, что она была настолько трудна для современников Галилея, что не столько привлекла их внимание к этим тонким вопросам, сколько отпугнула их своей необычностью и необъяснимостью. Но не торопись, кое-что можно будет тебе разъяснить в дальнейшем.
Хорошо бы... — отвечал наш герой.
Трудность здесь заключается в том, что мы не можем пересчитать числа в том и другом ряду. Так как это невозможно, то нам остается только подумать, нельзя ли найтн ьакой-нибудь способ сравнивать друг с другом бесконечные множества. И вот что тут можно предложить. Представь себе, что ты пришел в школу на вечер. Собралась масса мальчиков и девочек. Зал большой, страшная толкотня, а тебе хочется узнать, кого больше: мальчиков или девочек? Сколько тех и других, тебя не интересует. Ты хочешь только выяснить, кого больше. Как это сделать? Самое простое — попросить оркестрантов, чтобы они заиграли вальс. Тотчас же все станут парами, и тут ты увидишь, кого больше. Теперь ты видишь, что я и применяю этот самый способ к бесконечным множествам, например ко множеству всех чисел и множеству квадратов: сопоставляю их попарно, а раз это удается, значит, что никакой разницы между множеством всех чисел и множеством квадратов в отношении количества их элементов нет. Но только математики говорят в таких случаях не «количество» элементов, а так: эти два множества имеют «одинаковую мощность»
А теперь уже мне кажется, что всякие два бесконечных множества будут иметь одинаковую мощность! — сказал Илюша. — Если я, например, начну располагать в ряд элементы одного из них, а ты в это время будешь делать то же самое с другим, то выйдет, что мое и твое множества одинаковой мощности, как если я буду перебирать подряд все числа, а ты одновременно со мной только все четные.
Нет, — ответил Радикс, — не все бесконечные множества можно так исчерпать. Например, если взять множество всех точек на отрезке прямой, то его таким способом исчерпать нельзя. У нас говорят, что оно имеет «более высокую мощность», чем множество, например, всех натуральных чисел.
|
|
