По поводу точек на отрезке я вспоминаю, — сказал Илюша, — что ты мне говорил, будто пз одного луча можно сделать два.
Даже не два, а бесконечное множество. И это очень просто. Представь себе, что на твоем луче отложен отрезок, равный единице, потом еще один, и так до бесконечности. Перенумеруй но порядку эти отрезки, а затем, как хозяин Мишкиной гостиницы, пз четных, сдвинув их вместе, сооруди один луч, а из оставшихся нечетных — другой. Потом можешь повторить это с каждым из них, и так столько раз, сколько тебе угодно. А если догадаешься, можешь и сразу начать так перераспределять эти единичные отрезки, чтобы получилось бесконечное число лучей.
Но если конечный отрезок разделить пополам, в каждой части будет вдвое меньше точек, чем в целом отрезке?
Нет! — ответил Радикс. — Это снова тот же самый Мишкин неразменный рублик. В смысле «мощности» количество точек в целом отрезке и в его половине одинаково. Ты можешь в этом убедиться хотя бы так. Помнишь, что средняя лпния треугольника равна...
Половине основания!
Вот именно. А теперь проведи из вершины противоположного угла прямые, соединяющие ее с точками основания. Каждая из этих прямых пересечет и среднюю линию в какой- нибудь точке. Вот и получится, что каждой точке основания отвечает при таком построении точка на средней линии.
И все-таки основание вдвое длиннее! Как это объяснить?
Ты забываешь, что точки «не имеют длины» и длина отрезка вовсе не слагается из «длин» составляющих его точек. Поэтому к длинам отрезков сравнение мощностей здесь никакого отношения не имеет.
Я не пойму, — сказал Илюша. — Ведь отрезок состоит из точек, а точка не имеет длины. Откуда же берется в таком случае длина отрезка?
Ты не понимаешь потому, что ты привык изображать точки маленькими пятнышками, которые, конечно, имеют протяженность. Если бы ты изображал точки маленькими отрезками, расположенными вдоль этого отрезка, то на тех же основаниях ты мог бы сказать, что «направление» отрезка «слагается» из «направлений» составляющих его точек. Но ведь ты этого не скажешь: тебе ясно, что точка «не имеет направления». Говорить о направлении можно, только если есть по крайней мере две различные точки. Согласен?
Выходит, так, — со вздохом признался Илюша.
Вот теперь ты знаешь секрет Мишкиного неразменного рубля. И ты видишь, что эти его хитрые фокусы с рублем совсем не пустяк, а связаны с очень серьезными вещами. Вот тебе и сказка. Знаешь, как говорится в одной сказке:
