|
|
А и В. Если теперь поворачивать секущую около точки А по часовой стрелке, то в пределе она станет касательной. Построим треугольник АБС и рассмотрим, что с ним будет делаться, если поворачивать секущую около точки В. Очевидно, стороны треугольника убывают. Уменьшается сторона АС, а вместе с ней и сторона ВС, то есть уменьшается приращение той и другой переменных п уменьшается непрерывно. В рассматриваемых здесь случаях отношение АС и ВС стремится к некоторому пределу, а секущая занимает свое предельное положение относительно кривой, то есть ста- I овится касательной. Когда АС бесконечно уменьшается, то н ВС уменьшается таким же образом. Обе эти переменные бесконечно уменьшающиеся приращения величин суть бесконечно малые, и нам тут необходимо найти предел, к которому стремится их отношение. Очевидно, что оно будет равно тангенсу угла, который образует касательная с положительным направлением оси абсцисс. Этим вопросом занимается дифференциальное исчисление; и тангенс наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс называется производной данной функции. Зная производную той или иной функции, узнают, с какой скоростью изменяются ординаты кривой при изменении абсцисс, и можно изучить эту скорость. А этим способом исследуют очень- многие законы физики, механики и других естественных наук. На этом фундаменте и выросла наша современная техника.
Это замечательно! — воскликнул Илюша. — Только я не пойму: к какой кривой приводит тот пли иной закон физики?
Видишь ли, когда этим занялся Исаак Ныотон, которого современники называли «счастливейшим из смертных» за его открытие закона всемирного тяготения, то он, изучая скорость, с которой изменяются ординаты данной кривой, поставил два чрезвычайно важных и вполне естественных вопроса. Он рассуждал так: если точка двигается с данной скоростью, это значит, что она в определенное время проходит некоторый путь. Будем называть икс временем, как это делал сам Ньютон. Тогда ординаты кривой дают нам пройденный путь. Вот, например, если поезд идет с постоянной скоростью сорок километров в час, то за десять часов он пройдет 10-40 = 400 километров. Алгебраически это будет: скорость равпа а, время равно х, пройденный путь у равен ах. Таким образом, уравнение путн будет у = ах. Это есть не что иное, как уравнение прямой линии. Если же скорость сама все время меняется пропорционально времени, то пройденный путь будет на чертеже изображаться не ординатой прямой, а ординатой параболы. Если же мы умеем построить к нашей кривой пройденного пути касательную, то тем самым можем определить скорость в каждой данной точке кривой или в любой момент времени. Таким образом, зная пройденный путь, мы находим скорость. Но можно поставить и обратную задачу; зная скорость, найти пройденный путь. Можно показать, что эта задача сводится к квадратуре кривой, то есть к определению ее площади, а это, как уже мы с тобой говорили, есть задача интегрирования. Так вот, таким путем Ньютон и выяснил, что нахождение касательной и определение площади суть действия, обратные друг другу, как обратны, например, возведение в степень и извлечение корня.
|
|
