Мне очень хотелось бы, — сказал Илюша, — чтобы вы еще как-нибудь показали мне подробно, как вы, мнимые чело­вечки, возникаете из квадратного уравнения?

Вы ведь знаете, — начал свой рассказ Мнимий, — что, когда квадратное уравнение «не решается», мы получаем два комплексных корня, причем они таковы, что действительные части их равны, а мнимые отличаются по знаку:

Такпе комплексные числа называются сопряженными. Сопряженные комплексные числа обладают одним замечатель- ш.-ш свойством: их сумма так же, как и их п р о и з в е д е- н и е, является действительными числами. Это нетрудно про­верить!

Знаю! — откликнулся Илья. — Я уж пробовал. Мне ка­жется, как будто, что при перемножении мнимых чисел разные знаки дают плюс, а одинаковые минус...

Ученые, — продолжал Мнимий, — сперва, в семнадцатом веке, догадались, а через два века и доказали, что если прини­мать в расчет все корни уравнения, и действительные и ком­плексные, то вместе пх будет всегда столько же, сколько еди­ниц в показателе степени старшего члена уравнения. Это по­ложение, чрезвычайно важное для алгебры, обычно называется основной теоремой алгебры1. Попутно выяснилось, что комплескных корней всегда бывает четное число, и у каж­дого такого корня имеется сопряженный комплексный корень. А то, что вы хотите узнать, можно показать на геометрическом примере. Сначала мы возьмем обычную декартову плоскость, затем еще одну, которая будет комплексной, и она же будет полупрозрачной... А вы, юноша, дайте мне квадратное урав­нение поудобней!

Пожалуйста! — не задумываясь, ответил наш герой,

Три и пять. Лучше не придумаешь.

Сойдет, — ответил Мнимий. — Дальше так: пусть перед нами встанет первая плоскость, на ней оси деления и парабо­ла. А комплексная плоскость пусть станет перед первой вплот­ную. Она полупрозрачная, п через нее мы отлично увндим первую.

Так все и случилось. Сперва возникла обычная плоскость, причем ось абсцисс была голубая, а ось ординат розовая, потом возникла и темно-синяя парабола. А на делениях ( + 3) и (+5), там, где были корни квадратного уравнения, где пара­бола пересекла ось абсцисс, ярко горели две блестящие оран­жевые точки.

Вот и корни! — сказал Илюша.

А теперь мы сотворим и комплексную.

И действительно, тут же, поправей, возникла еще одна плоскость, не очень заметная, матовая. На ней были тоже две взаимно перпендикулярные оси, действительная н мнимая, только они были совсем тоненькие. В начале координат сияла зеленая точка.